Военную службу (1919—1921) Тигран Меликсетович Мелькумов начал красноармейцем в кавалерийском полку на Закаспийском фронте Гражданской войны. В 1932 г. стал преподавателем (гражданским) кафедры теории авиационных двигателей ВВА им. проф. Н. Е. Жуковского, одновременно являясь начальником отдела в НИИ ГВФ. В 1939 г. стал военным преподавателем этой кафедры, а затем на протяжении 28 лет (1941—1969) был ее начальником. По совместительству в 1947—1951 гг. был заместителем начальника ЦИАМ им. П. И. Баранова, а затем и начальником этого института.

Тигран Меликсетович внес большой вклад в теорию авиационных двигателей и в создание экспериментальной базы для ее развития. Инициатор и научный руководитель создания уникальной моторной испытательной станции в ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского, а также Тураевской экспериментальной базы ЦИАМ, которая до настоящего времени является крупнейшей в Европе. В 60-е гг. он проводил учебные занятия с космонавтами первого набора во главе с Ю. А. Гагариным.

После увольнения из Вооруженных Сил Т. М. Мелькумов работал старшим научным сотрудником, профессором Института истории естествознания и техники АН СССР, редактором-составителем трехтомного издания «Пионеры реактивной техники».

Автор и соавтор многочисленных изданий, отчетов, среди которых 4 монографии, 4 учебника и около 20 учебных пособий.

Награжден орденом Красного Знамени, орденом Трудового Красного Знамени, орденом Отечественной войны 2 степени, 2 орденами Красной Звезды, орденом «Знак Почета» и многими медалями СССР.