В 1931 г. Федор Прокопьевич Костромин окончил Московский механический институт им. М. В. Ломоносова. В 1933 г. защитил кандидатскую диссертацию по теме «Сверление четырехгранных отверстий». Преподавал в Бронетанковой академии. С 1951 г. работал преподавателем на кафедре «Технология металлов» ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского. В 1954—1955 гг. руководил кафедрой «Детали машин» ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского. До 1978 г. преподавал на объединенной кафедре «Теория механизмов и детали машин», а с 1978 по 1982 г. — на объединенной кафедре «Механика».

В 1938 г. издал книгу «Конструирование приспособлений». Она выдержала четыре издания, была переведена на несколько иностранных языков, в том числе на китайский, и использовалась во многих втузах и КБ. В 1960 г. Ф. П. Костромин издал учебник «Детали машин» для слушателей академии. В 1961—1968 гг. читал курс «Теория механизмов и детали машин» отряду космонавтов Ю. А. Гагарина. В 1962 г. издал учебник «Техническая механика» для космонавтов. Принимал участие в написании справочного пособия «Проектирование авиационных механических устройств» (1981 г.). В 1979 г. им издана книга «Техническая механика. Пособие по курсовому проектированию с использованием ЦЭВМ «Мир-2».

Награжден орденами и медалями.