Борис Андреевич Алексеев в 1929 году поступил в 1-ю Военную школу Авиационных Техников в г. Ленинграде, по завершению которой в 1931 году был назначен на должность инструктора, а через год – на должность преподавателя школы. В 1934 году он становится слушателем инженерного факультета академии, который оканчивает с отличием в 1939 году.

В июле 1939 года Б.А. Алексеев был принят в адъюнктуру по кафедре теории авиационных двигателей и одновременно прикомандирован к конструкторскому бюро С. Г. Козлова при академии им. Н. Е. Жуковского. В годы Великой Отечественной войны Борис Андреевич на преподавательских должностях кафедры конструкции авиационных двигателей. Неоднократно выезжал на фронт, оказывая существенную помощь инженерно-техническому составу авиационных частей.

В послевоенные годы на кафедре начались работы, связанные с газотурбинными двигателями. В рамках этих работ Б. А. Алексеев в 1950 году успешно защитил кандидатскую диссертацию на тему «Исследование плоских компрессорных решеток на околозвуковых скоростях», экспериментальную часть которой выполнил на разработанном и построенном по его собственному проекту оборудовании в Центральном институте авиационного моторостроения им. П. И. Баранова, где работал по совместительству старшим инженером в 1946 – 1951 годах. По оценкам коллег это был «тонкий эксперимент, давший результаты, представлявшие большой практический интерес». С декабря 1951 года по июнь 1954 года временно исполнял обязанности начальника кафедры конструкции авиационных двигателей.

С 1954 по 1966 год Борис Андреевич работал заместителем начальника инженерного факультета. В этой должности он проявил себя требовательным и принципиальным командиром-воспитателем, внес заметный вклад в планирование учебного процесса.

После увольнения из рядов Вооруженных Сил некоторое время работал на кафедре инженерной графики академии.

Награжден орденами Ленина, Красного знамени и Красной Звезды, а также многими медалями.