В 1916 году С.А. Леваневский начал трудовую деятельность на механическом заводе в городе Рыбинске. В октябре 1917 года вступил в Красную гвардию. Принимал участие в Гражданской войне. Был командиром роты, батальона, начальником штаба, а затем командиром стрелкового полка.

В 1925 году окончил Севастопольскую школу морской авиации и служил в ней лётчиком-инструктором.

В 1931-32 годах был начальником лётно-учебной части Всеукраинской школы лётчиков.

С 1933 года работал в Управлении полярной авиации Главсевморпути, совершив несколько сверхдальних перелётов.

В апреле 1934 года принял участие в эвакуации экипажа и пассажи-ров затонувшего парохода «Челюскин», за что получил звание Героя Советского Союза.

В 1934 году Леваневский поступил в Военно-воздушную академию им. проф. Н.Е. Жуковского. Однако в 1935 году он прервал учёбу для подготовки трансарктического перелёта через Северный полюс в Америку, идею которого выдвинул первым. 3 августа 1935 года на самолёте АНТ-25 С.А. Леваневский со вторым пилотом Г.Ф. Байдуковым и штурманом В.А. Левченко предпринял попытку перелёта Москва Северный полюс Сан-Франциско. Однако через десять часов полета был вынужден повернуть самолет обратно, из-за сильной протечки масла, которая могла создать аварийную ситуацию.

12 августа 1937 года на четырёхмоторном самолёте конструкции воспитанника академии В.Ф. Болховитинова ДБ-А с экипажем из шести человек он предпринял новую попытку перелета через Северный полюс в Америку. После того, как они пролетели над Северным полюсом, радио-связь с самолётом прервалась. Перед этим Леваневский сообщал об отказе крайнего правого двигателя и о плохих метеоусловиях. Больше о судьбе самолёта и экипажа ничего не известно. Были организованы поиски, но результатов они не дали.

Награжден орденами Ленина, Трудового Красного Знамени и Красной Звезды.