Свою службу в Вооруженных Силах Александр Ильич Величкин начал в суровые годы Великой Отечественной войны курсантом Муромского училища связи. Затем участвовал в боевых действиях в составе 2-го Украинского фронта в качестве командира взвода связи 141-го стрелкового полка. За участие в боевых действиях при форсировании р. Морава младший лейтенант А. И. Величкин был награжден орденом Красной Звезды. На фронтовом пути Александра Ильича также были Дунай, Вена, Прага, Югославия.

В 1947 г. Александр Ильич добился поступления на только что образованный радиотехнический факультет ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского, который он блестяще окончил и был оставлен в адъюнктуре. После успешной защиты кандидатской диссертации проходил службу на кафедре авиационной радиосвязи: более 20 лет возглавлял НИЛ и 15 лет был старшим преподавателем. Предложенные и разработанные А. И. Величкиным в докторской диссертации оригинальные методы теоретических и экспериментальных исследований непрерывно-дискретных систем связи получили высокую оценку специалистов и используются до настоящего времени.

После увольнения из Вооруженных Сил он продолжал свою активную деятельность в качестве профессора кафедры радиоэлектронной разведки. В любой организации ВВС многочисленные выпускники академии отзываются о нем с глубокой благодарностью и большой теплотой.

Лично и в соавторстве им написано и издано 3 монографии, 3 учебника, более 150 научных статей, изобретений и отчетов по НИР.

Научные идеи А. И. Величкина широко внедряются в практику и находят дальнейшее развитие в работах учеников его школы, среди которых 2 доктора и 25 кандидатов технических наук.

Награжден орденом Красной Звезды, орденом Отечественной войны 2 степени и 15 медалями.